사다리타기는 정말 공평할까: 직접 돌려 본 숫자

사다리만으로는 공평하지 않아요. 보통 그리는 가로줄 수로는 출발한 자리 근처에 도착하기 쉬워요. 그래서 공평뽑기의 사다리타기는 아래 칸을 먼저 무작위로 섞은 다음 사다리를 만들어요. 아래는 그렇게 정한 근거예요.

사다리는 이렇게 생겼어요

이 글에서 쓰는 말은 네 가지예요. 사람마다 한 줄씩 내려가는 세로줄, 이웃한 두 세로줄을 잇는 가로줄, 가로줄을 놓을 수 있는 높이 하나하나인 층, 맨 아래에서 결과가 적힌 칸이에요. 내려가다 가로줄을 만나면 반드시 건너요. 위 그림은 4명이 타는 6층 사다리이고, 빨간 길은 둘째 줄에서 출발한 사람이 간 길이에요.

8명이 타면 맨 끝 사람은 어디에 도착할까

8명이 타는 보통 사다리(14층, 세로줄 사이마다 가로줄이 평균 4.7개)를 400,000개 만들어서, 맨 왼쪽 1번 줄에서 출발한 사람이 어느 칸에 도착했는지 셌어요. 공평하다면 여덟 칸이 모두 12.5%여야 해요.

아래 칸을 섞지 않은 사다리. 1번 줄 출발, 가로줄 ‘보통’(14층). 빨간 막대는 출발한 줄 바로 아래 칸이에요.

바로 아래 칸에 도착한 비율이 24.8%이고 반대쪽 끝 칸은 1.9%예요. 약 13배 차이가 나요. 벌칙이 맨 오른쪽 칸에 있다면 맨 왼쪽에 선 사람은 거의 걸리지 않는다는 뜻이에요.

층을 늘리면 나아지지만 사람이 많으면 감당이 안 돼요

맨 끝 줄에서 출발해 바로 아래 칸에 도착한 비율이에요. 이 도구에서 가로줄을 ‘적게’, ‘보통’, ‘많이’로 고르면 각각 8층, 14층, 24층이에요.

빨간 숫자는 공평할 때의 1.5배가 넘는 값이에요.

4명은 층이 적어도 고르게 섞여요. 하지만 사람이 늘면 필요한 층이 훨씬 빠르게 늘어요. ‘거의 고르다’의 기준을 이렇게 잡아 봤어요. 어느 줄에서 출발하든, 도착 확률이 고를 때의 확률(8명이면 칸마다 12.5%)보다 높은 칸들에서 넘치는 만큼을 모두 더했을 때 5%포인트를 넘지 않을 것. 이 기준을 맞추려면 4명은 12층, 8명은 49층, 15명은 173층, 30명은 696층이 필요해요. 30명이면 가로줄이 모두 약 6,728개예요. 화면에도 종이에도 그릴 수 없는 수예요.

왜 가까운 칸에 도착할까

가로줄 하나는 이웃한 두 세로줄만 맞바꿔요. 한 층을 지날 때 옆으로 한 줄 가거나 그대로 내려갈 뿐이에요. 왼쪽 끝에서 오른쪽 끝까지 가려면 오른쪽으로 가는 가로줄을 여러 번 연달아 만나야 하고, 그 사이 왼쪽으로 되돌아가는 가로줄도 만나요. 그래서 층이 적으면 멀리 못 가요.

아래 칸을 먼저 섞으면 고르게 돼요

같은 8명, 14층 사다리에서 아래 칸을 먼저 섞으면 1번 줄 사람이 받는 결과는 여덟 가지 모두 12.4%에서 12.6% 사이였어요. 우연히 생기는 차이 수준이에요. 무작위로 고르게 섞은 것에는 그 뒤에 어떤 사다리를 붙여도 여전히 고르게 섞인 것이라서, 층이 적어도 상관없어요.

종이에 그릴 때도 같은 방법을 쓸 수 있어요. 아래 칸을 가린 채 적고, 누가 어느 세로줄에 설지를 제비로 정하거나 각자 고르게 하면 돼요. 출발하는 줄이 무작위면 사다리가 덜 섞여도 결과는 고르게 나와요.

이 숫자는 이렇게 쟀어요

• 공평뽑기가 실제로 쓰는 사다리 만들기 코드로 사다리를 인원과 층 수마다 2만 개에서 40만 개씩 만들었어요. 씨앗을 고정해서 다시 돌려도 같은 숫자가 나와요.
• 사다리 규칙: 세로줄과 세로줄 사이를 ‘틈’이라고 하면, 어느 층에서든 틈 하나에 가로줄이 놓일 확률은 3분의 1로 모든 틈이 같아요. 다만 한 층에서 바로 옆 틈 두 곳에 가로줄을 나란히 놓지는 않아요. 그러면 한 세로줄의 같은 높이에 가로줄 두 개가 닿아 길이 갈리기 때문이에요. 가로줄이 하나도 없는 틈이 남으면 그 틈에 하나를 넣어요.
• 표의 숫자는 마지막 규칙(빈 틈 채우기)이 거의 쓰이지 않는 24층 이상에서, 식으로 따로 계산한 정확한 값과 0.5%포인트 안에서 같았어요.
• 사람이 손으로 그리는 사다리는 규칙이 달라서 숫자가 조금 다를 수 있어요. 층이 적을수록, 사람이 많을수록 가까운 칸이 유리하다는 방향은 같아요.

결과 링크와 줄 순서, 아래 칸 순서

사다리타기의 결과 링크에는 이름과 줄 순서, 아래 칸, 사다리를 만들 때 쓴 값이 들어 있어요. 사다리는 누가 몇 번째 줄에 서는지가 결과의 일부라서, 줄 순서가 달라지면 같은 사다리여도 받는 결과가 달라져요. 아래 칸을 적은 순서도 마찬가지예요. 당첨과 벌칙의 순서를 바꿔 적으면 받는 사람이 서로 바뀌어요. 그래서 확인할 때는 이름뿐 아니라 줄 순서와 아래 칸 순서도 미리 올린 것과 같은지 봐야 해요. 명단 아래의 ‘사다리 확인 코드’는 줄 순서와 아래 칸까지 넣어 만든 값이라, 뽑기 전에 올려 두면 코드만 견주면 돼요. 순서와 상관없이 뽑고 싶다면 제비뽑기의 당첨 쪽지를 쓰세요. 거기서는 명단의 순서가 달라도 같은 사람이 같은 쪽지를 받아요.